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mardi 4 avril 2017

Mathématiques, Nature et esprit humain





Mathématiques, Nature et esprit humain





      Suite à un article où j'ai cité cette phrase célèbre de Galilée : « La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l’Univers, mais on ne peut le comprendre si l’on ne s’applique d’abord à en comprendre la langue et à connaître les caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d’en comprendre un mot. Sans eux, c’est une errance vaine dans un labyrinthe obscur », un lecteur me pose cette question : « Les mathématiques sont elles un langage de la Nature ou un langage artificiel de l'homme ?  »


    C'est une vaste question. Soit effectivement, les mathématiques se trouvent inscrites dans la structure même du réel. « Tout est nombre » disait dans l'Antiquité Pythagore. Soit c'est l'esprit humain qui crée les mathématiques, de la même façon qu'il a inventé le marteau et les clous comme outils pour avoir plus d'emprise sur ce réel. Il y a un livre de débat entre le neurobiologiste Jean-Pierre Changeux et le mathématicien Alain Connes, « Matière à penser » qui tente de répondre à cette question. Je l'ai quelque part dans ma bibliothèque, mais pas moyen de remettre la main dessus. Si je me rappelle bien, Alain Connes défend un platonisme non-transcendant, c'est-à-dire l'idée qu'il existe un monde mathématique indépendamment de l'activité de le pensée humaine, que l'esprit humain peut découvrir, tout comme Christophe Colomb a découvert le continent des Amériques. Jean-Pierre Changeux, lui, voit les mathématiques comme une production du cerveau. Mais peut-être que ces mathématiques correspondent à une structure profonde du cerveau : les mathématiciens ne feraient que développer une certaine propension du monde à évaluer et comprendre le monde de manière mathématique. De la même façon que l'évolution darwinienne des espèces a donné des yeux à l'animal humain, l'évolution a donné un sens mathématique pour rendre le monde plus intelligible. Cela expliquerait la « déraisonnable efficacité des mathématiques » (selon le mot du mathématicien Eugène Wigner) par un long processus d'adaptation du cerveau à la connaissance du monde naturel.


       Pour Galilée, c'est la première option qui est la bonne. Dieu nous a donné deux révélations : la Bible qui est écrite essentiellement en hébreu, en araméen, en grec et en latin, qui révèle l'existence de Dieu, et le grand livre de la Nature, qui ne peut se comprendre qu'à travers les mathématiques. Je me souviens d'avoir lu un article de La Recherche sur les automates cellulaires, où le mathématicien Stephen Wolfram soutenait la théorie qu'on allait pouvoir expliquer l'univers tout entier à partir d'un simple automate cellulaire, une règle assez simple de production de carrés pleins ou vides. Au début, vous avez un carré ; à la ligne suivante, trois, ensuite, cinq, et ainsi de suite. Et vous obéissez à une règle simple pour connaître la composition de la deuxième ligne et des suivantes.


      Par exemple, une règle qui dirait : si une case est noire, elle reste noire. Si elle est blanche, elle devient noire si elle possède au moins une voisine noire. Il faut donc envisager les trois cases au-dessus de la case dont on essaye de déterminer la couleur. Chacune de ces trois cases peuvent être blanches ou noires. Cela fait au total 2 à l'exposant 3 possibilités (23), soit 8 possibilités. La règle que l'on vient d'énoncer peut donc être représentée dans ce genre de graphique (figure 1).




Figure 1 : règle 254.



    Selon cette règle, le premier carré noir va donner dans le temps 2 trois carrés noirs, qui vont donner eux-mêmes cinq carrés noirs au temps 3, puis sept carrés noirs au temps 4, et ainsi de suite... Rien de très extraordinaire somme toute (figure 2). C'est même franchement ennuyant ! Une pyramide noire sans saveur.




Evolution dans le temps de la règle 254









      Mais d'autres automates cellulaires parmi les 256 possibles (28) sont beaucoup plus sympas. La règle 182 notamment. Cette règle donne un carré blanc si tous les 3 carrés au-dessus sont blancs ou s'il y a deux cases noires groupées parmi les 3 cases. Dans tous les autres cas, cela donne un carré noir. En l'occurrence dans les cas de 3 cases noires au-dessus, une seule case noire parmi les 3, ou encore le cas « noire – blanche - noire » (figure 3).




 Figure 3 : Règle 182



Cette règle 182 produit des jolis triangles qui se réitèrent tout au long de la structure (figure 4).



Figure 4 : règle 182 réitérée de nombreuses fois




     La règle 126 donne aussi des triangles, mais blancs cette fois. La règle (figure 5) dit qu'on obtient un carré blanc si tous les 3 carrés au-dessus sont tous de la même couleur (tous les 3 blancs ou tous les 3 noirs).





Figure 5 : règle 126.



Cette règle 126 est une structure remarquable (figure 6), car cela rappelle le triangle de Sierpinski en géométrie fractale. La formation du triangle de Sierpinski s'opère en prenant un triangle, et en formant un nouveau triangle en adjoignant deux copies de ce triangle aux coins de la base de ce triangle, puis en réitérant à plusieurs reprises l'opération (figure 7).





Figure 6 : règle 126 réitérée de nombreuses fois.







Figure 7 : formation des triangles de Sierpinski





     Ces automates cellulaires deviennent de plus en plus intéressants, mais jusqu'ici, on obtient des structures régulières. Or avec la règle 30, on entre dans des structures désordonnées, le chaos commence à s'installer. La règle 30 dit que le carré devient noir s'il y a un carré noir dans les 3 au-dessus de lui, ou que le carré directement au-dessus et celui de droite sont noirs. Dans les quatre autres cas, on a des carrés blancs (figure 8).





Figure 8 : règle 30




     En réitérant à de nombreuses reprises l'opération, on obtient une structure avec des triangles, mais placés n'importe comment. Le chaos s'installe à partir d'une règle mathématique simple. L'évolution de la règle 30 semble livrée à l'arbitraire et au hasard. Pourtant, il s'agit bien d'une règle qui est donnée et appliquée à la lettre. Stephen Wolfram montre par là que le chaos peut surgir d'un ordre établi.





Figure 9 : règle 30 réitérée de nombreuses fois.




     C'est déjà un principe intéressant, mais la règle 110 est encore plus fascinante : elle fait surgir une structure entre harmonie et chaos. La règle 110 ressemble très fort à la règle 126, sauf que, dans le cas où il n'y a qu'un carré au-dessus à gauche, le carré en-dessous reste blanc. Ce qui a pour conséquence immédiate de laisser la partie droite du triangle complètement blanche (figure 10).






Figure 10: règle 110.





       Mais ce n'est pas la conséquence la plus admirable. En fait, vue de loin, cette règle 110 semble de structure régulière, et ce quasiment partout. Mais quand on y regarde de près, on discerne des irrégularités et des structures étranges qui se manifestent ici et là : des séries de triangles blanc qui se répandent comme de l'écume à la surface d'un liquide, ainsi que des bandes noires diagonales. Toutes ces structures semblent suivre une logique commune, comme une roche sédimentaire : elles apparaissent, se rencontrent, disparaissent. Malgré les discontinuités, on semble repérer un paysage de fond très régulier (figure 11).






Figure 11: règle 110 réitérée 600 fois





     Pour Stephen Wolfram, le monde naturel, mélange de chaos et d'ordre, peut être produit par un automate cellulaire du type de la règle 110. De la simplicité mathématique d'une règle simple émerge la complexité du monde avec ses régularités que le scientifique peut prévoir et intégrer dans une équation, mais aussi son bouillonnement, ses déviations, son magma, sa floraison un peu chaotique, qui rendent ce monde imprévisible et non-modélisable. Peut-on calculer chaque brin d'herbes dans une prairie ? Peut-on prévoir la forme de chaque arbre dans une jungle, la forme exacte de chaque liane, de chaque champignon, de chaque fougère ? Peut-on connaître l'emplacement exact et la taille de chaque essaim d'abeilles ? Il semble que non, mais Stephen Wolfram  avec un brin de mégalomanie pense que les automates cellulaires peuvent modéliser tout le chaos du monde, de la formation des galaxies jusqu'à la croissance du moindre brin d'herbe. Il suffirait de trouver l'automate cellulaire que Dieu a utilisé pour faire le monde.






*****






       Et moi, qu'est-ce que j'en pense ? Je n'ai pas d'avis tranché sur la question. Mais intuitivement, j'aurais tendance à penser qu'il est raisonnable de penser l'idée que l'esprit humain a conçu les mathématiques comme outil pour mesurer et modéliser le monde. Par exemple, la légende veut que la géométrie (étymologiquement la « mesure de la terre ») soient nées pour calculer l'aire des champs le long du Nil. Chaque année, du fait de la crue du Nil, l'eau engloutissait une partie du champ, et les paysans ne voulaient pas payer la taxe au pharaon concernant cette partie engloutie du champ. C'est là que les géomètres se sont mis à calculer la proportion de l'aire engloutie par rapport à l'aire totale du champ. Ensuite, ces considérations ont servis à faire des pyramides, les plus vieux bâtiments de l'humanité, qui tiennent toujours à l'heure actuelle.


    Néanmoins, même si je considère l'option des mathématiques inventées par l'esprit humain comme plus raisonnable, je ne peux pas rejeter en bloc l'option des mathématiques comme langage naturel du monde. On cite souvent le nombre d'or qui exprimait pour les Grecs la proportion la plus harmonieuse pour le corps humain, mais aussi dans l'architecture des temples. C'est peut-être un jugement culturel comme on a décidé que le football se joue à 11 et le rugby à 15 ; mais on retrouve ce nombre d'or dans la suite de Fibonacci et dans le monde réel.


      La suite de Fibonacci est la suite de nombres entiers positifs qui commencent par 0 e et 1 et qui consistent à additionner les deux derniers nombres de la suite pour connaître le prochain nombre de la suite : 0 et 1 donnent 1, on a donc 0, 1, 1. Ensuite, 1 et 1 donnent 2, ce qui fait comme suite : 0, 1, 1, 2. Puis, 2 et 1 donnent 3, ce qui fait 0, 1, 1, 2, 3. Puis, 2 et 3 donnent 5, ce qui donne comme suite : 0, 1, 1, 2, 3, 5. Et on réitère cette opération jusqu'à l'infini. Ce qui donne : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Ce qui est remarquable, c'est que la proportion entre chacun de ces nombres tend vers le nombre d'or (1+√5)/2. À l'origine, au début du XIIIème siècle, Fibonacci essayait de résoudre une vulgaire histoire d'élevage de lapins, qui s'exprime ainsi : « Un homme met un couple de lapins dans un endroit clos, sans qu'aucun autre lapin puisse entrer et sortir. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ? » Mais cette site s'est retrouvée dans toutes sortes de considérations sur l'esthétique et les proportions harmonieuses. On retrouve le nombre d'or et la suite de Fibonacci dans certains chefs-d’œuvre comme l'homme de Vitruve ou la Joconde de Léonard de Vinci.


         On retrouve aussi ce nombre d'or et la suite de Fibonacci dans la Nature comme les proportions des écailles d'un cône de pins ou les étamines d'une fleur de tournesol. On retrouve le nombre d'or dans les proportions de certaines galaxies spirales, mais pas dans toutes les galaxies spirales. Ce nombre d'or intervient donc dans la Nature, mais tout dans l'univers n'est pas soumis à ce nombre d'or pour autant, tout comme de nombreuses œuvres d'art, pourtant encensées par l'humanité, n'ont aucun rapport avec le nombre d'or.





Heinz Schultheiß





         Même si cette suite de Fibonacci n'explique pas tout, loin s'en faut, je ne peux pas m'empêcher de ressentir une beauté fondamentale dans ces développements mathématiques, de la même façon que je peux m'émerveiller d'un paysage ou de la musique de Wolgang Amadeus Mozart. Par ailleurs, je peux être fasciné par la trigonométrie : mettre en adéquation le cercle avec le théorème de Pythagore. Et je trouve fascinant le théorème de Bernoulli en physique. Y aurait-il un monde mathématique caché avec son harmonie propre ? Ce monde est-il, dès lors, un continent de l'esprit humain ou une dimension de la réalité qu'il appartient aux hommes de connaître et d'approfondir ?


     Je laisse la question ouverte ; néanmoins, il reste une question importante à poser : la connaissance du monde passe-t-elle exclusivement par les mathématiques ? Quand Galilée et Newton ont développé la physique moderne ont développé au XVIIème siècle, ils ont mathématisé la physique de l'époque. Dans la physique de l'époque, on avait une physique des qualités : une pierre tombe parce que la pierre veut tomber. C'est la « théorie des lieux » d'Aristote : en tant qu'objet vulgaire, la pierre aspire à être en bas, donc elle tombe pour retrouver son lieu qui lui sied dans le monde, à savoir en bas. Le feu et l'air ont par contre tendance à monter, puisque leur lieu est d'être en haut. Le soleil, la lune et les étoiles en tant que corps célestes parfaits sont encore plus hauts. Pas besoin de mathématique : il suffit de connaître les qualités de chaque objet pour en déduire sa place dans le cosmos. Galilée et Newton vont détruire ce genre de conception en induisant l'idée que la gravité ne dépend pas de l'objet, mais de l'attraction qu'exerce les corps gigantesques comme la planète Terre. La Terre exerce autant la gravité sur un caillou que sur la Lune, et cette attraction des corps peut se calculer à l'aide de formules mathématiques.


       C'est en soi une idée géniale et une révolution absolue dans les moyens de connaître le monde naturel. Mais les mathématiques ont-elles vocation à expliquer tout mon rapport au monde ? Quand, dans une ballade, je me mets à admirer un paysage, bien sûr, les lois de l'optique de Newton m'aide à comprendre le phénomène lumineux qui impressionne ma rétine, sans lequel je ne pourrais voir aucun objet. Mais les équations mathématiques peuvent-elles rendre compte de mon admiration et du sentiment poétique quand je regarde ce paysage ? Au XIXème siècle, il y a eu chez les penseurs romantiques une réaction contre cette emprise des mathématiques et des méthodes analytiques. On a commencé à diviser la philosophie en philosophie naturelle et en philosophie de la Nature, deux termes extrêmement proches, l'un pour désigner ce qu'on appelle aujourd'hui la science moderne (la philosophie naturelle) où on découpe le réel en petit morceau pour mieux le comprendre et où on essaye de modéliser le réel à grands coups d'équation pour faire rentrer le réel dans les cases des mathématiques.


     De l'autre côté, la philosophie de la Nature conçoit la Nature comme un Tout auquel le sujet humain se retrouve confronté dans un dialogue silencieux. Il s'agit de voir chaque jeu d'ombres et de lumières, chaque chant d'oiseau, chaque frémissement du vent sur la peau, chaque sensation de froid ou de chaud, non comme une entité modélisable et réductible à des équations mathématiques, mais comme une perception ou une sensation unique, qui ne se reproduira pas exactement à l'identique, cette particularité de l'instant présent s'intégrant spontanément dans le Tout de la Nature qui dépasse tout cet univers de calculs et de propriétés géométriques qui est celui de la science moderne.



      Je pense que c'est une attitude d'autant plus nécessaire aujourd'hui que l'on vit dans une société qui connaît une avalanche de détermination mathématiques. Avec le développement des ordinateurs et d'Internet, tout peut être quantifié, calculé, mesuré et segmenté dans des équations et des schémas opérationnels. On ne peut pas faire un jogging sans qu'on nous pousse à « quantifier notre soi », c'est-à-dire mesurer votre rythme cardiaque, pression sanguine, température corporelle. Tout est numérisé et intégré dans le « Big Data », la collection absolument gigantesque que des ordinateurs traitent en permanence pour mieux dominer l'humanité. Mais si Google Earth peut quantifier entièrement le paysage que j'admire à partir d'un satellite à des centaines de kilomètres au-dessus de ma tête, admire-t-il le paysage à ma place ? Il me semble que non.        










La suite de Fibonacci exprimée géométriquement
Norbert Francis Attard - Boundary of Infinity (Frontières de l'infini) - à La Panne (sur la côte belge) - 1 




Suite de Fibonacci en nombres
Norbert Francis Attard - Boundary of Infinity (Frontières de l'infini) - à La Panne (sur la côte belge) - 2



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